Q-Rious Transmissions

Superdense coding quantum communication protocol

Description

Alice is stuck in the bygone era of classical computing, while Bob is using quantum. She wants to show Bob a cool picture so she decides to give quantum a chance. Bob and Alice share a quantum state. Alice can't figure out how to send qubits, so she shares details of each operation instead. The initial state is 1/sqrt(2)*(|00> + |11>)

author: boron

Solution

Superdense coding is a quantum communication protocol based on the sender and receiver pre-sharing a pair of maximally entangled qubits.

We are told that the initial state is 12(āˆ£00āŸ©+āˆ£11āŸ©)\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|11\rangle).

Using the superdense coding protocol, Alice applies one of four quantum gates (II, XX, ZZ, Zāˆ—XZ*X) to transform the entangled qubit into one of four Bell states.

Applying a quantum gate to a qubit is essentially performing matrix multiplication. This article does a great job at explaining it.

For instance, the XX gate is represented as X=[0110]X =\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\\ \end{bmatrix}. When applied to āˆ£1āŸ©|1\rangle, the following matrix multiplication is performed:

As a result of applying the quantum gates, a new entangled state is formed, and this can be decoded by Bob to obtain the classical 2-bit message by applying CNOT and HāŠ—IH\otimes I.

The following script applies each quantum gate to the entangled state, and decodes the classical 2-bit messages. Each gate in the message would thus translate to 2 bits.

import numpy
from PIL import Image

message = "ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I"

messageDigest = message.split(" ")

X = numpy.array([[0, 1], [1, 0]])
I = numpy.array([[1, 0], [0, 1]])
Z = numpy.array([[1, 0], [0, -1]])
ZX = numpy.dot(Z, X)
H =  numpy.array([[1, 1], [1, -1]])
CNOT = numpy.array([
    [1, 0, 0, 0],
    [0, 1, 0, 0],
    [0, 0, 0, 1],
    [0, 0, 1, 0]
])

XI = numpy.kron(X, I)
II = numpy.kron(I, I)
ZI = numpy.kron(Z, I)
ZXI = numpy.kron(ZX, I)
HI = numpy.kron(H, I)

init1 = numpy.array([1, 0, 0, 0])
init2 = numpy.array([0, 0, 0, 1])

initial = (1 / 2 ** (1 / 2) * (init1 + init2))

freq = {
    "00": 0,
    "01": 0,
    "10": 0,
    "11": 0
}

from itertools import permutations
possible_decodes = ['00', '01', '10', '11']
perms = permutations(possible_decodes)

digest = ""

for m in messageDigest[:]:

    if m == "I":
        init1 = numpy.transpose(numpy.dot(init1,II))
        init2 = numpy.transpose(numpy.dot(init2,II))

    elif m == "X":
        init1 = numpy.transpose(numpy.dot(init1,XI))
        init2 = numpy.transpose(numpy.dot(init2,XI))

    elif m == "Z":
        init1 = numpy.transpose(numpy.dot(init1,ZI))
        init2 = numpy.transpose(numpy.dot(init2,ZI))

    elif m == "ZX":
        init1 = numpy.transpose(numpy.dot(init1,ZXI))
        init2 = numpy.transpose(numpy.dot(init2,ZXI))
        
    else:
        print("Unknown Op: {0}".format(m))
    
    dig1 = numpy.transpose(numpy.dot(init1, CNOT))
    dig2 = numpy.transpose(numpy.dot(init2, CNOT))
    dig1 = numpy.transpose(numpy.dot(dig1, HI))
    dig2 = numpy.transpose(numpy.dot(dig2, HI))

    dig = dig1 + dig2
    if dig[0] != 0:
        digest += "00"
        freq['00'] += 1
    elif dig[1] != 0:
        digest += "01"
        freq['01'] += 1
    elif dig[2] != 0:
        digest += "10"
        freq['10'] += 1
    elif dig[3] != 0:
        digest += "11"
        freq['11'] += 1

print(digest)

The decoded message looks like this. Hmm... not very useful! This is not surprising, though, since the message contains a lot of identity __ (II) gates, which do not modify the quantum state - we should expect a lot of repeated bits in the output.

It turns out that this was a QR code! The 40,000 bits can be arranged into a 200 x 200 square matrix. Each bit represents either a white or black pixel.

Since white pixels have the RGB value of 255 and black pixels have the RGB value of 0, we multiply the array by 255 to obtain an image.

arr = numpy.array(list(digest)).reshape((200, 200)).astype('uint8') * 255
print(arr)

im = Image.fromarray(arr)

im.show()
im.save("q-rious.png")

We get a QR code, which we can decode to reveal the flag!

Last updated