Q-Rious Transmissions
Superdense coding quantum communication protocol

Description

Alice is stuck in the bygone era of classical computing, while Bob is using quantum. She wants to show Bob a cool picture so she decides to give quantum a chance. Bob and Alice share a quantum state. Alice can't figure out how to send qubits, so she shares details of each operation instead. The initial state is 1/sqrt(2)*(|00> + |11>)
author: boron
info.txt
40KB
Text
info.txt

Solution

​Superdense coding is a quantum communication protocol based on the sender and receiver pre-sharing a pair of maximally entangled qubits.
We are told that the initial state is
12(∣00⟩+∣11⟩)\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|11\rangle)
.
Using the superdense coding protocol, Alice applies one of four quantum gates (
II
,
XX
,
ZZ
,
Zβˆ—XZ*X
) to transform the entangled qubit into one of four Bell states.
Applying a quantum gate to a qubit is essentially performing matrix multiplication. This article does a great job at explaining it.
For instance, the
XX
gate is represented as
X=[0110]X =\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\\ \end{bmatrix}
. When applied to
∣1⟩|1\rangle
, the following matrix multiplication is performed:
As a result of applying the quantum gates, a new entangled state is formed, and this can be decoded by Bob to obtain the classical 2-bit message by applying CNOT and
HβŠ—IH\otimes I
.
The following script applies each quantum gate to the entangled state, and decodes the classical 2-bit messages. Each gate in the message would thus translate to 2 bits.
1
import numpy
2
from PIL import Image
3
​
4
message = "ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I I I I X Z I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I ZX I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I X Z I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I ZX I I X Z I I ZX I I I I I I I I I X Z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I"
5
​
6
messageDigest = message.split(" ")
7
​
8
X = numpy.array([[0, 1], [1, 0]])
9
I = numpy.array([[1, 0], [0, 1]])
10
Z = numpy.array([[1, 0], [0, -1]])
11
ZX = numpy.dot(Z, X)
12
H = numpy.array([[1, 1], [1, -1]])
13
CNOT = numpy.array([
14
[1, 0, 0, 0],
15
[0, 1, 0, 0],
16
[0, 0, 0, 1],
17
[0, 0, 1, 0]
18
])
19
​
20
XI = numpy.kron(X, I)
21
II = numpy.kron(I, I)
22
ZI = numpy.kron(Z, I)
23
ZXI = numpy.kron(ZX, I)
24
HI = numpy.kron(H, I)
25
​
26
init1 = numpy.array([1, 0, 0, 0])
27
init2 = numpy.array([0, 0, 0, 1])
28
​
29
initial = (1 / 2 ** (1 / 2) * (init1 + init2))
30
​
31
freq = {
32
"00": 0,
33
"01": 0,
34
"10": 0,
35
"11": 0
36
}
37
​
38
from itertools import permutations
39
possible_decodes = ['00', '01', '10', '11']
40
perms = permutations(possible_decodes)
41
​
42
digest = ""
43
​
44
for m in messageDigest[:]:
45
​
46
if m == "I":
47
init1 = numpy.transpose(numpy.dot(init1,II))
48
init2 = numpy.transpose(numpy.dot(init2,II))
49
​
50
elif m == "X":
51
init1 = numpy.transpose(numpy.dot(init1,XI))
52
init2 = numpy.transpose(numpy.dot(init2,XI))
53
​
54
elif m == "Z":
55
init1 = numpy.transpose(numpy.dot(init1,ZI))
56
init2 = numpy.transpose(numpy.dot(init2,ZI))
57
​
58
elif m == "ZX":
59
init1 = numpy.transpose(numpy.dot(init1,ZXI))
60
init2 = numpy.transpose(numpy.dot(init2,ZXI))
61
62
else:
63
print("Unknown Op: {0}".format(m))
64
65
dig1 = numpy.transpose(numpy.dot(init1, CNOT))
66
dig2 = numpy.transpose(numpy.dot(init2, CNOT))
67
dig1 = numpy.transpose(numpy.dot(dig1, HI))
68
dig2 = numpy.transpose(numpy.dot(dig2, HI))
69
​
70
dig = dig1 + dig2
71
if dig[0] != 0:
72
digest += "00"
73
freq['00'] += 1
74
elif dig[1] != 0:
75
digest += "01"
76
freq['01'] += 1
77
elif dig[2] != 0:
78
digest += "10"
79
freq['10'] += 1
80
elif dig[3] != 0:
81
digest += "11"
82
freq['11'] += 1
83
​
84
print(digest)
Copied!
The decoded message looks like this. Hmm... not very useful! This is not surprising, though, since the message contains a lot of identity (
II
) gates, which do not modify the quantum state - we should expect a lot of repeated bits in the output.
It turns out that this was a QR code! The 40,000 bits can be arranged into a 200 x 200 square matrix. Each bit represents either a white or black pixel.
Since white pixels have the RGB value of 255 and black pixels have the RGB value of 0, we multiply the array by 255 to obtain an image.
1
arr = numpy.array(list(digest)).reshape((200, 200)).astype('uint8') * 255
2
print(arr)
3
​
4
im = Image.fromarray(arr)
5
​
6
im.show()
7
im.save("q-rious.png")
Copied!
We get a QR code, which we can decode to reveal the flag!
Last modified 2mo ago
Copy link